定理与证明
定理（幂序不等式）. 设 \(k_i>0,\;x_i>0\) 且 \(x_i\neq1\;(i=1,\dots,n)\)，定义函数
\[ f(t)=\sum_{i=1}^n k_i x_i^t \]
则 \(f(t)\) 在 \(\mathbb R\) 上是严格凸函数。因此 \(f\) 要么单调，要么先减后增——恰有一个极小值点。
具体而言，任取 \(a<b<c<d\)，有：
- 若 \(f(a)\le f(c)\)，则 \(f(b)\le f(c)\le f(d)\)；
- 若 \(f(b)\ge f(d)\)，则 \(f(a)\ge f(b)\ge f(c)\)。
证明. 记 \(\alpha_i=\ln x_i\)，则 \(x_i^t=e^{\alpha_i t}\)。计算一、二阶导数：
\[ f'(t)=\sum k_i\alpha_i e^{\alpha_i t},\qquad f''(t)=\sum k_i\alpha_i^2 e^{\alpha_i t} \]
因 \(k_i>0\)、\(e^{\alpha_i t}>0\) 且至少有一个 \(x_i\neq1\)（即 \(\alpha_i\neq0\)），故 \(f''(t)>0\) 恒成立，\(f\) 严格凸。以上两条结论均为凸性的直接推论。\(\square\)
注. 若所有 \(x_i>1\)，则 \(f\) 严格递增；若所有 \(x_i<1\)，则 \(f\) 严格递减；若兼而有之，则 \(f\) 先减后增。
不等式证明
划分思想
以幂平均不等式的证明为例，说明如何利用幂序不等式。
幂序不等式断言：形如 \(f(t)=\sum k_i x_i^t\) 的函数是严格凸的。若再满足 \(f(0)=f(s)\)，则 \(f\) 在 \(0\) 与 \(s\) 处取值相等，由凸性可知——对于 \(0<r<s\) 有 \(f(r)\le f(0)=f(s)\)；对于 \(r<0\) 有 \(f(r)\ge f(0)=f(s)\)。
若要证明 \(M_r\le M_s\)，可尝试构造 \(f(t)=\sum k_i x_i^t\) 使其满足 \(f(0)=f(s)\)，然后将 \(f(r)\) 与 \(M_r\)、\(M_s\) 相关联。一旦建立这种关联，凸性给出的 \(f(r)\) 与端点值的大小关系便可转化为 \(M_r\) 与 \(M_s\) 的大小关系。
因此核心问题在于：如何选择 \(k_i\) 和 \(x_i\)，使 \(f(0)=f(s)\) 成立，同时 \(f(r)\) 能表达 \(M_r\)？ 下面通过三个尝试来探索。
尝试一. 取 \(k_i=1/n\)、\(x_i=a_i\)，则 \(f(t)=\frac1n\sum a_i^t\)。此时 \(f(0)=1\)，而 \(f(s)=M_s^s\neq1\)（除非 \(M_s=1\)），不满足条件。
尝试二. 保留 \(x_i=a_i\)，调整 \(k_i\)。条件 \(f(0)=f(s)\) 给出 \(\sum k_i=\sum k_i a_i^s\)，即 \(\sum k_i(1-a_i^s)=0\)。这需针对 \(a_i\) 解出 \(k_i\)，运算繁琐。
尝试三. 取 \(k_i=1/n\)，调整 \(x_i\)。设 \(x_i=a_i/M\)，则 \(f(t)=\frac1n\sum (a_i/M)^t\)。此时
\[ f(0)=\frac1n\sum 1=1,\qquad f(s)=\frac1n\sum\left(\frac{a_i}{M}\right)^{\!s} \]
条件 \(f(0)=f(s)\) 给出 \(\frac1n\sum(a_i/M)^s=1\)，即 \(M^s=\frac1n\sum a_i^s\)。记 \(C=\frac1n\sum a_i^s\)，则 \(M=C^{1/s}\)——正是 \(M_s\)。
至此得到正确的构造：\(f(t)=\frac1n\sum(a_i/M_s)^t\)。注意 \(M_s\) 是推导的结果，而非前提。下面直接用此形式证明。
一、幂平均不等式
幂平均不等式（Power Mean Inequality）. 对正实数 \(a_1,\dots,a_n\) 及实数 \(r<s\)，有
\[ M_r\le M_s,\qquad M_t=\left(\frac1n\sum_{i=1}^n a_i^{\,t}\right)^{\!1/t}\;(t\neq0), \quad M_0=\Bigl(\prod_{i=1}^n a_i\Bigr)^{\!1/n} \]
即幂平均函数 \(t\mapsto M_t\) 关于 \(t\) 单调递增。
证明. 不妨设 \(s>0\)（\(s<0\) 的情形同理）。以 \(M_s\) 为基准，引入规范化辅助函数
\[ f(t)=\frac1n\sum_{i=1}^n\left(\frac{a_i}{M_s}\right)^{\!t} \]
直接验证 \(f(0)=f(s)=1\)。\(f\) 具有幂序不等式的标准形式（\(k_i=1/n\)，\(x_i=a_i/M_s\)），故 \(f\) 在 \(\mathbb R\) 上严格凸。
将 \(M_r\) 用 \(f(r)\) 表示：
\[ M_r=\left(\frac1n\sum a_i^r\right)^{\!1/r} =M_s\cdot\left(\frac1n\sum\left(\frac{a_i}{M_s}\right)^{\!r}\right)^{\!1/r} =M_s\cdot f(r)^{1/r} \]
于是 \(M_r\le M_s\) 等价于 \(f(r)^{1/r}\le1\)。由 \(f\) 的严格凸性及 \(f(0)=f(s)\) 可得：
- 若 \(0<r<s\)，则 \(f(r)\le1\)，又 \(1/r>0\)，故 \(f(r)^{1/r}\le1\)；
- 若 \(r<0\)，则 \(f(r)\ge1\)，但 \(1/r<0\)，故 \(f(r)^{1/r}\le1\)。
两种情形均有 \(f(r)^{1/r}\le1\)，即 \(M_r\le M_s\)。等号成立当且仅当诸 \(a_i\) 全相等。\(\square\)
二、加权幂平均不等式
加权幂平均不等式（Weighted Power Mean Inequality）. 设 \(w_1,\dots,w_n>0\) 且 \(\sum w_i=1\)，则对 \(r<s\) 有
\[ M_r\le M_s,\qquad M_t=\Bigl(\sum w_i a_i^{\,t}\Bigr)^{\!1/t} \]
证明. 以 \(M_s\) 为基准，引入规范化辅助函数
\[ f(t)=\sum w_i\left(\frac{a_i}{M_s}\right)^{\!t} \]
则 \(f(0)=\sum w_i=1\)，\(f(s)=\displaystyle\sum w_i\frac{a_i^s}{M_s^s}=1\)。\(f\) 具有幂序不等式的标准形式（\(k_i=w_i\)，\(x_i=a_i/M_s\)），故严格凸。
将 \(M_r\) 用 \(f(r)\) 表示：
\[ M_r=\Bigl(\sum w_i a_i^r\Bigr)^{\!1/r}=M_s\cdot\Bigl(\sum w_i\Bigl(\frac{a_i}{M_s}\Bigr)^{\!r}\Bigr)^{\!1/r}=M_s\cdot f(r)^{1/r} \]
由 \(f(0)=f(s)\) 及 \(f\) 的严格凸性：
- 若 \(0<r<s\)，则 \(f(r)\le1\)，又 \(1/r>0\)，故 \(f(r)^{1/r}\le1\)；
- 若 \(r<0\)，则 \(f(r)\ge1\)，但 \(1/r<0\)，故 \(f(r)^{1/r}\le1\)。
因此总有 \(M_r\le M_s\)。等号成立当且仅当诸 \(a_i\) 全相等。\(\square\)
注. 当 \(w_i=1/n\) 时退化为经典的幂平均不等式。
三、赫尔德不等式
赫尔德不等式（Hölder Inequality）. 设 \(p,q>1\)，\(\dfrac1p+\dfrac1q=1\)，则
\[ \sum_{i=1}^n |x_i y_i|\le\Bigl(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\Bigr)^{\!1/p}\Bigl(\sum_{i=1}^n |y_i|^q\Bigr)^{\!1/q} \]
证明. 令 \(A=\sum|x_i|^p\)、\(B=\sum|y_i|^q\)，构造辅助函数
\[ f(t)=\sum_{i=1}^n\left(\frac{|x_i|^p}{A}\right)^{\!t}\left(\frac{|y_i|^q}{B}\right)^{\!1-t} \]
易得
\[ f(0)=\sum\frac{|y_i|^q}{B}=1,\qquad f(1)=\sum\frac{|x_i|^p}{A}=1 \]
将 \(f(t)\) 改写为幂序不等式的标准形式：
\[ f(t)=\sum_{i=1}^n\frac{|y_i|^q}{B}\cdot\left(\frac{|x_i|^pB}{|y_i|^qA}\right)^{\!t} \]
即 \(k_i=|y_i|^q/B\)、\(x_i=|x_i|^pB/|y_i|^qA\)。由幂序不等式知 \(f\) 在 \(\mathbb R\) 上严格凸。
对满足 \(f(0)=f(1)=1\) 的严格凸函数，在区间 \([0,1]\) 上恒有 \(f(t)\le1\)。特别地，取 \(t=1/p\) 得
\[ f\!\left(\frac1p\right)=\sum\left(\frac{|x_i|^p}{A}\right)^{\!1/p}\left(\frac{|y_i|^q}{B}\right)^{\!1/q}\le1 \]
即
\[ \sum|x_i y_i|\le A^{1/p}B^{1/q} =\Bigl(\sum|x_i|^p\Bigr)^{\!1/p}\Bigl(\sum|y_i|^q\Bigr)^{\!1/q} \]
\(\square\)
总结
幂序不等式的核心洞察是：形如 \(\sum k_i x_i^t\) 的函数具有严格凸性，因此其单调行为至多只有一个极小值点。 利用此性质，构造满足 \(f(0)=f(s)\) 的辅助函数，即可统一证明如下经典不等式。
| 不等式 | 辅助函数 \(f(t)\) | 条件 \(f(0)=f(s)\) |
|---|---|---|
| 幂平均不等式 | \(\displaystyle\frac1n\sum\bigl(\frac{a_i}{M_s}\bigr)^t\) | \(f(0)=f(s)=1\) |
| 加权幂平均不等式 | \(\displaystyle\sum w_i\bigl(\frac{a_i}{M_s}\bigr)^t\) | \(f(0)=f(s)=1\) |
| 赫尔德不等式 | \(\displaystyle\sum\bigl(\frac{|x_i|^p}{A}\bigr)^t\bigl(\frac{|y_i|^q}{B}\bigr)^{1-t}\) | \(f(0)=f(1)=1\) |
这一方法的步骤是：
- 构造函数 \(f(t)=\sum k_i x_i^t\)，使其具有幂序不等式的标准形式；
- 施加条件 \(f(0)=f(s)\)，确定 \(k_i\) 与 \(x_i\) 的关系；
- 利用凸性，由 \(f(0)=f(s)\) 推导 \(f(r)\) 与端点值的大小关系——\(0<r<s\) 时 \(f(r)\le f(0)\)，\(r<0\) 时 \(f(r)\ge f(0)\)；
- 联系原不等式，将 \(f(r)\) 翻译为 \(M_r\) 与 \(M_s\) 的关系，即得所欲证的不等式。
这套框架不仅给出了简洁的证明，更揭示了幂平均、赫尔德等不等式之间内在的统一性。
