幂序不等式

幂序不等式

#不等式 2024-08-26

定理原型

函数 \[f(t)=\sum_{i=1}^nk_ix_i^t\] 其中 \[k_i,x_i\in\mathbb{R} ^+,x_i\neq1(\forall i=1,2,...,n)\] 给定 \[a<b<c<d\] 如果 \[f(a)\leq f(c)\] 则有 \[f(a)\leq f(c)\leq f(d), f(b)\leq f(c)\] 如果 \[f(b)\geq f(d)\] 则有 \[f(a)\leq f(b)\leq f(d), f(b)\geq f(c)\]

实际上用到的是函数的单调性，\(f(t)\)要么单调递增，要么先减后增。